SISTEM PERSAMAAN LINEAR ELIMINASI GAUSS JORDAN

 

METODE ELIMINASI GAUSS JORDAN

PENJELASAN

• Tidak seperti eliminasi Gauss hanya menghasilkan matriks sampai padabentuk baris eselon, metode Gauss-Jordan ini menghasilkan matriks dengan bentuk baris eselon  tereduksi(reduced row echelon form).

• Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhanalagi. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Metode ini digunakan untuk mencari invers dari sebuah matriks.

Prosedur metode eliminasi Gauss-Jordan :

1. Ubah sistem persamaan linier yang ingin dihitung menjadi matriks augmentasi.

2. Lakukan operasi baris elementer pada matriks augmentasi (A|b) untuk mengubah matriks A menjadi dalam bentuk baris eselon yang tereduksi

Pengubahan dilakukan dengan membuat matriks yang elemen-elemennya adalah koefisien- koefisien dari sistem persamaan linier.

Llangkah-langkah pada operasi baris elementer yaitu :

1.Menukar posisi dari 2 baris.

Ai ↔Aj

2.Mengalikan baris dengan sebuah bilangan skalar positif.

Ai = k*A

3.Menambahkan baris dengan hasil kali skalar dengan baris lainnya

Ai = Ai + k * Aj

Algoritma Metode Eliminasi Gauss adalah:

1.      Masukkan matrik A, dan vektor B beserta ukurannya n

2.      Buat augmented matrik [A|B] namakan dengan A

3.      Untuk baris ke i dimana i=1 s/d n, perhatikan apakah nilai ai,i =0 :

          Bila iya, maka tukarkan baris ke i dan baris ke i+k≤n, dimana ai+k ,i ≠0, bila tidak ada berarti perhitungan tidak bisa                                         dilanjutkan dan proses dihentikan dengan tanpa penyelesaian. Bila tidak, maka lanjutkan

4.      Untuk baris ke j, dimana j = i+1 s/d n

*syarat baris esselon sudah saya jelaskan pada Post : METODE ELIMINASI GAUSS

CONTOH SOAL

2x + 4y – 2z = 12

x + 5y + 3z = 8

-3x + y + 3z = -4

PENYELESAIAN

2x + 4y – 2z = 12

x + 5y + 3z = 8

-3x + y + 3z = -4

1. Ubah menjadi matriks augmentasi.

2    4   -2   12

1    5    3    8

-3    1    3   -4

2. B1 x 0.5

1    2   -1    6

1    5    3    8

-3    1    3   -4

3. B2 + (-1 x B1)

1    2   -1     6

0    3    4     2

-3    1    3    -4

4. B3 + (3 x B1)

1    2    -1    6

0    3     4    2

0    7     0   14

5. B2 x 1/3

1    2     -1         6

0    1    0.33     0.67

0    7      0         14

6. B1 + (-2 x B2)

1    0    -3.67     4.67

0    1     0.33     0.67

0    7       0          14

 

7. B3 + (-7 x B2)

1    0     -3.67    4.67

0    1      0.33     0.67

0    0     -9.33    9.33

8. B3 x -1/9.33

1     0     -3.67    4.67

0     1     0.33     0.67

0     0       1         -1

9. B1 + (3.67 x B3)

1     0     0       1

0     1   0.33   0.67

0     0      1      -1

10. B2 + (-0.33 x B3)

1     0    0      1

0     1    0      2

0     0     1    -1

Hasil :

Matriks sudah dalam bentuk baris eselon tereduksi.

nilai x = 1, y = 2, dan z = -1.

Demikian penjelasan mengenai Eliminasi Gauss jordan, untuk mencari materi lain tentang MATRIKS silahkan kunjungi postingan saya yang lain.