DEKOMPOSISI MATRIKS DENGAN METODE DOOLITTLE

Dekomposisi Matriks dengan Metode Doolittle

Suatu persamaan linear dapat diselesaikan secara langsung. Salah satu caranya adalah dengan menggunakan dekomposisi LU. Pada metode ini suatu sistem persamaan linier yang berbentuk:

 

difaktorisasi menjadi:

 

Pada dekomposisi LU metode Doolittle, semua komponen diagonal matriks L bernilai 1 sehingga representasi matriks di atas menjadi:

Untuk menghitung setiap komponen matriks L dan U dari matriks A dengan ukuran n x n dapat dengan menggunakan algoritma sebagai berikut:

1. Dapatkan nilai matriks U pada baris pertama:

    untuk i = 1 sampai n

2. Hitung nilai:

    untuk i=2 sampai n

3. untuk i = 2 sampai n-1

 

                   untuk j = i + 1 sampai n

 

4. Hitung indeks terakhir:

                             

Proses dekomposisi selesai sampai disini, proses berikutnya adalah untuk menyelesaikan sistem persamaan linier nya.

Dari dekomposisi berikut:

Matriks L dan U sudah kita dapatkan, dan dengan memisalkan:

maka

untuk mendapatkan nilai vektor y dapat dilakukan dengan substitusi maju sebagai berikut:

untuk i=2 sampai n

nilai vektor x didapatkan dengan melakukan substitusi mundur persamaan:

dengan cara:

untuk i=n-1 sampai 1

Selesai!!Sistem persamaan linier tersebut sudah dapat diselesaikan, dengan catatan:

matriks harus square.

tidak ada komponen diagonal bernilai nol (jika ada yang bernilai nol harus dilakukan pertukaran baris terlebih dahulu).

Sumber: Burden R.L., Faires J.D. Numerical analysis (7ed., Brooks Cole, 2001)

SISTEM PERSAMAAN LINEAR ELIMINASI GAUSS JORDAN

 

METODE ELIMINASI GAUSS JORDAN

PENJELASAN

• Tidak seperti eliminasi Gauss hanya menghasilkan matriks sampai padabentuk baris eselon, metode Gauss-Jordan ini menghasilkan matriks dengan bentuk baris eselon  tereduksi(reduced row echelon form).

• Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhanalagi. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Metode ini digunakan untuk mencari invers dari sebuah matriks.

Prosedur metode eliminasi Gauss-Jordan :

1. Ubah sistem persamaan linier yang ingin dihitung menjadi matriks augmentasi.

2. Lakukan operasi baris elementer pada matriks augmentasi (A|b) untuk mengubah matriks A menjadi dalam bentuk baris eselon yang tereduksi

Pengubahan dilakukan dengan membuat matriks yang elemen-elemennya adalah koefisien- koefisien dari sistem persamaan linier.

Llangkah-langkah pada operasi baris elementer yaitu :

1.Menukar posisi dari 2 baris.

Ai ↔Aj

2.Mengalikan baris dengan sebuah bilangan skalar positif.

Ai = k*A

3.Menambahkan baris dengan hasil kali skalar dengan baris lainnya

Ai = Ai + k * Aj

Algoritma Metode Eliminasi Gauss adalah:

1.      Masukkan matrik A, dan vektor B beserta ukurannya n

2.      Buat augmented matrik [A|B] namakan dengan A

3.      Untuk baris ke i dimana i=1 s/d n, perhatikan apakah nilai ai,i =0 :

          Bila iya, maka tukarkan baris ke i dan baris ke i+k≤n, dimana ai+k ,i ≠0, bila tidak ada berarti perhitungan tidak bisa                                         dilanjutkan dan proses dihentikan dengan tanpa penyelesaian. Bila tidak, maka lanjutkan

4.      Untuk baris ke j, dimana j = i+1 s/d n

*syarat baris esselon sudah saya jelaskan pada Post : METODE ELIMINASI GAUSS

CONTOH SOAL

2x + 4y – 2z = 12

x + 5y + 3z = 8

-3x + y + 3z = -4

PENYELESAIAN

2x + 4y – 2z = 12

x + 5y + 3z = 8

-3x + y + 3z = -4

1. Ubah menjadi matriks augmentasi.

2    4   -2   12

1    5    3    8

-3    1    3   -4

2. B1 x 0.5

1    2   -1    6

1    5    3    8

-3    1    3   -4

3. B2 + (-1 x B1)

1    2   -1     6

0    3    4     2

-3    1    3    -4

4. B3 + (3 x B1)

1    2    -1    6

0    3     4    2

0    7     0   14

5. B2 x 1/3

1    2     -1         6

0    1    0.33     0.67

0    7      0         14

6. B1 + (-2 x B2)

1    0    -3.67     4.67

0    1     0.33     0.67

0    7       0          14

 

7. B3 + (-7 x B2)

1    0     -3.67    4.67

0    1      0.33     0.67

0    0     -9.33    9.33

8. B3 x -1/9.33

1     0     -3.67    4.67

0     1     0.33     0.67

0     0       1         -1

9. B1 + (3.67 x B3)

1     0     0       1

0     1   0.33   0.67

0     0      1      -1

10. B2 + (-0.33 x B3)

1     0    0      1

0     1    0      2

0     0     1    -1

Hasil :

Matriks sudah dalam bentuk baris eselon tereduksi.

nilai x = 1, y = 2, dan z = -1.

Demikian penjelasan mengenai Eliminasi Gauss jordan, untuk mencari materi lain tentang MATRIKS silahkan kunjungi postingan saya yang lain.

DETERMINAN MATRIKS

 Pengertian Determinan Matriks

Saat kamu belajar tentang matriks, salah satu besaran yang akan kamu pelajari adalah determinan. Determinan matriks adalah nilai yang bisa dihitung dari unsur-unsur matriks. 

Determinan ini merupakan besaran skalar atau besaran yang hanya memiliki besar/nilai. Unsur matriks yang dimaksud adalah unsur matriks persegi. Apa itu matriks persegi? Matriks persegi adalah matriks yang memiliki jumlah baris dan kolom yang sama. Misalnya, suatu matriks A adalah matriks 2 × 2 dengan unsur sebagai berikut.

Nilai determinannya dinyatakan sebagai berikut.

det A = |A| = ad – bc

Sifat-Sifat Determinan Matriks

Adapun sifat-sifat determinan matriks adalah sebagai berikut.

Agar kamu semakin paham dengan konsep determinan matriks, simak contoh soal berikut.

Contoh Soal 1

Tentukan nilai dari det 3P-1Q!

Pembahasan:

Pertama, tentukan dahulu determinan mastrik P dan Q.

Matriks P

Matriks Q

Untuk mencari determinan matriks 3P-1Q gunakan sifat matriks berikut.

det kAn×n = kn det An×n.

Dengan demikian:

Jadi, nilai det 3P-1Q = 9.

Determinan Matriks 3 × 3

Cara menentukan determinan matriks 3 × 3 berbeda dengan cara menentukan determinan matriks 2 × 2. Determinan matriks 3 × 3 bisa ditentukan dengan dua cara, yaitu sebagai berikut:

1. Cara determinan

Adapun cara determinan untuk matriks 3 × 3 bisa kamu lihat di contoh berikut ini.

Agar kamu semakin paham, simak contoh soal berikut ini.

Contoh Soal 2

Pembahasan:

Determinan matriks tersebut bisa ditentukan dengan cara berikut.

Jadi, determinan matriks S di atas adalah 36.

2. Cara Sarrus

Cara sarrus ini adalah cara yang paling mudah untuk mencari determinan matriks 3 × 3. Adapun langkah-langkah yang harus kamu perhatikan adalah sebagai berikut.

Semua unsur matriks yang berada di 2 kolom pertama, kamu salin ke kolom paling belakang (kolom 4) dengan tanpa mengubah urutan kolomnya, ya.

Lakukan operasi perkalian menyilang untuk 3 unsur ke arah kanan bawah, lalu jumlahkan hasilnya. Sebut saja hasilnya sebagai KA.

Lakukan operasi perkalian menyilang untuk 3 unsur ke arah kiri bawah, lalu jumlahkan hasilnya. Sebut saja hasilnya sebagai KI.

Secara matematis, determinan matriks 3 × 3 dinyatakan sebagai berikut.

det A = KA – KI.

Perhatikan contoh soal berikut.

Contoh Soal 3

Pembahasan:

Salin semua unsur yang berada di 2 kolom pertama ke kolom 4.

Lakukan operasi perkalian menyilang untuk 3 unsur ke arah kanan bawah.

 

                       

KA = 0 + (-12) + 18 = 6

Lakukan operasi perkalian menyilang untuk 3 unsur ke arah kiri bawah.

KI = -24 + (-6) + 0 = -30

Dengan demikian, hasil det S menggunakan cara sarrus adalah

det S = KA – KI = 6 − (−30) = 36. 

Penerapan Determinan Matriks pada Sistem Persamaan Linear

Sistem persamaan linear dua peubah (SPLDP) dan sistem persamaan linear tiga peubah (SPLTP) bisa dicari solusinya menggunakan aturan determinan. Perhatikan rumus berikut.

Untuk SPLDP:

Untuk SPLTP:

Jangan bingung ya, untuk mencari solusi SPLTP menggunakan determinan matriks memang agak rumit, tetapi mudah kok. Ini dia contoh soalnya!

Contoh Soal 4

Tentukan solusi SPLTP berikut menggunakan metode determinan.

x + y – z = -4

2x + 4y + 2z = 10

x + 3y + z = 4

Pembahasan:

Sistem persamaan liner tiga peubah di atas bisa dituliskan dalam bentuk matriks sebagai berikut.

Jadi, solusi persamaan linear tiga peubah di atas adalah (2, -1, 5).

Demikian penjelasan tentang Determinan matriks, lebih dan kurangnya mohon maaf.