SISTEM PERSAMAAN LINEAR ELIMINASI GAUSS JORDAN

 

METODE ELIMINASI GAUSS JORDAN

PENJELASAN

• Tidak seperti eliminasi Gauss hanya menghasilkan matriks sampai padabentuk baris eselon, metode Gauss-Jordan ini menghasilkan matriks dengan bentuk baris eselon  tereduksi(reduced row echelon form).

• Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhanalagi. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Metode ini digunakan untuk mencari invers dari sebuah matriks.

Prosedur metode eliminasi Gauss-Jordan :

1. Ubah sistem persamaan linier yang ingin dihitung menjadi matriks augmentasi.

2. Lakukan operasi baris elementer pada matriks augmentasi (A|b) untuk mengubah matriks A menjadi dalam bentuk baris eselon yang tereduksi

Pengubahan dilakukan dengan membuat matriks yang elemen-elemennya adalah koefisien- koefisien dari sistem persamaan linier.

Llangkah-langkah pada operasi baris elementer yaitu :

1.Menukar posisi dari 2 baris.

Ai ↔Aj

2.Mengalikan baris dengan sebuah bilangan skalar positif.

Ai = k*A

3.Menambahkan baris dengan hasil kali skalar dengan baris lainnya

Ai = Ai + k * Aj

Algoritma Metode Eliminasi Gauss adalah:

1.      Masukkan matrik A, dan vektor B beserta ukurannya n

2.      Buat augmented matrik [A|B] namakan dengan A

3.      Untuk baris ke i dimana i=1 s/d n, perhatikan apakah nilai ai,i =0 :

          Bila iya, maka tukarkan baris ke i dan baris ke i+k≤n, dimana ai+k ,i ≠0, bila tidak ada berarti perhitungan tidak bisa                                         dilanjutkan dan proses dihentikan dengan tanpa penyelesaian. Bila tidak, maka lanjutkan

4.      Untuk baris ke j, dimana j = i+1 s/d n

*syarat baris esselon sudah saya jelaskan pada Post : METODE ELIMINASI GAUSS

CONTOH SOAL

2x + 4y – 2z = 12

x + 5y + 3z = 8

-3x + y + 3z = -4

PENYELESAIAN

2x + 4y – 2z = 12

x + 5y + 3z = 8

-3x + y + 3z = -4

1. Ubah menjadi matriks augmentasi.

2    4   -2   12

1    5    3    8

-3    1    3   -4

2. B1 x 0.5

1    2   -1    6

1    5    3    8

-3    1    3   -4

3. B2 + (-1 x B1)

1    2   -1     6

0    3    4     2

-3    1    3    -4

4. B3 + (3 x B1)

1    2    -1    6

0    3     4    2

0    7     0   14

5. B2 x 1/3

1    2     -1         6

0    1    0.33     0.67

0    7      0         14

6. B1 + (-2 x B2)

1    0    -3.67     4.67

0    1     0.33     0.67

0    7       0          14

 

7. B3 + (-7 x B2)

1    0     -3.67    4.67

0    1      0.33     0.67

0    0     -9.33    9.33

8. B3 x -1/9.33

1     0     -3.67    4.67

0     1     0.33     0.67

0     0       1         -1

9. B1 + (3.67 x B3)

1     0     0       1

0     1   0.33   0.67

0     0      1      -1

10. B2 + (-0.33 x B3)

1     0    0      1

0     1    0      2

0     0     1    -1

Hasil :

Matriks sudah dalam bentuk baris eselon tereduksi.

nilai x = 1, y = 2, dan z = -1.

Demikian penjelasan mengenai Eliminasi Gauss jordan, untuk mencari materi lain tentang MATRIKS silahkan kunjungi postingan saya yang lain.

DETERMINAN MATRIKS

 Pengertian Determinan Matriks

Saat kamu belajar tentang matriks, salah satu besaran yang akan kamu pelajari adalah determinan. Determinan matriks adalah nilai yang bisa dihitung dari unsur-unsur matriks. 

Determinan ini merupakan besaran skalar atau besaran yang hanya memiliki besar/nilai. Unsur matriks yang dimaksud adalah unsur matriks persegi. Apa itu matriks persegi? Matriks persegi adalah matriks yang memiliki jumlah baris dan kolom yang sama. Misalnya, suatu matriks A adalah matriks 2 × 2 dengan unsur sebagai berikut.

Nilai determinannya dinyatakan sebagai berikut.

det A = |A| = ad – bc

Sifat-Sifat Determinan Matriks

Adapun sifat-sifat determinan matriks adalah sebagai berikut.

Agar kamu semakin paham dengan konsep determinan matriks, simak contoh soal berikut.

Contoh Soal 1

Tentukan nilai dari det 3P-1Q!

Pembahasan:

Pertama, tentukan dahulu determinan mastrik P dan Q.

Matriks P

Matriks Q

Untuk mencari determinan matriks 3P-1Q gunakan sifat matriks berikut.

det kAn×n = kn det An×n.

Dengan demikian:

Jadi, nilai det 3P-1Q = 9.

Determinan Matriks 3 × 3

Cara menentukan determinan matriks 3 × 3 berbeda dengan cara menentukan determinan matriks 2 × 2. Determinan matriks 3 × 3 bisa ditentukan dengan dua cara, yaitu sebagai berikut:

1. Cara determinan

Adapun cara determinan untuk matriks 3 × 3 bisa kamu lihat di contoh berikut ini.

Agar kamu semakin paham, simak contoh soal berikut ini.

Contoh Soal 2

Pembahasan:

Determinan matriks tersebut bisa ditentukan dengan cara berikut.

Jadi, determinan matriks S di atas adalah 36.

2. Cara Sarrus

Cara sarrus ini adalah cara yang paling mudah untuk mencari determinan matriks 3 × 3. Adapun langkah-langkah yang harus kamu perhatikan adalah sebagai berikut.

Semua unsur matriks yang berada di 2 kolom pertama, kamu salin ke kolom paling belakang (kolom 4) dengan tanpa mengubah urutan kolomnya, ya.

Lakukan operasi perkalian menyilang untuk 3 unsur ke arah kanan bawah, lalu jumlahkan hasilnya. Sebut saja hasilnya sebagai KA.

Lakukan operasi perkalian menyilang untuk 3 unsur ke arah kiri bawah, lalu jumlahkan hasilnya. Sebut saja hasilnya sebagai KI.

Secara matematis, determinan matriks 3 × 3 dinyatakan sebagai berikut.

det A = KA – KI.

Perhatikan contoh soal berikut.

Contoh Soal 3

Pembahasan:

Salin semua unsur yang berada di 2 kolom pertama ke kolom 4.

Lakukan operasi perkalian menyilang untuk 3 unsur ke arah kanan bawah.

 

                       

KA = 0 + (-12) + 18 = 6

Lakukan operasi perkalian menyilang untuk 3 unsur ke arah kiri bawah.

KI = -24 + (-6) + 0 = -30

Dengan demikian, hasil det S menggunakan cara sarrus adalah

det S = KA – KI = 6 − (−30) = 36. 

Penerapan Determinan Matriks pada Sistem Persamaan Linear

Sistem persamaan linear dua peubah (SPLDP) dan sistem persamaan linear tiga peubah (SPLTP) bisa dicari solusinya menggunakan aturan determinan. Perhatikan rumus berikut.

Untuk SPLDP:

Untuk SPLTP:

Jangan bingung ya, untuk mencari solusi SPLTP menggunakan determinan matriks memang agak rumit, tetapi mudah kok. Ini dia contoh soalnya!

Contoh Soal 4

Tentukan solusi SPLTP berikut menggunakan metode determinan.

x + y – z = -4

2x + 4y + 2z = 10

x + 3y + z = 4

Pembahasan:

Sistem persamaan liner tiga peubah di atas bisa dituliskan dalam bentuk matriks sebagai berikut.

Jadi, solusi persamaan linear tiga peubah di atas adalah (2, -1, 5).

Demikian penjelasan tentang Determinan matriks, lebih dan kurangnya mohon maaf.

Penggunaan matriks pada bidang komputer dan teknik informatika

Penggunaan matriks pada bidang komputer 

Penggunaan Fungsi Matriks dalam Teknologi/ MS Excel

1.        Pendahuluan

Di era teknologi informasi ini dan dengan pesatnya perkebangan teknologi komputer saat ini, manfaat komputer telah dirasakan di berbagai sektor kehidupan. Dalam sektor pendidikan misalnya, pemanfaatan komputer sudah berkembang tidak hanya sebagai alat yang hanya dipergunakan untuk urusan keadministrasian saja, melainkan juga dimungkinkan untuk digunakan sebagai salah satu alternatif dalam pemilihan media pembelajaran. Hal semacam ini perlu ditanggapi secara positif oleh para guru sehingga komputer dapat menjadi salah satu media yang dapat membantu dalam mengoptimalkan pembelajaran. Salah satu program komputer  yang bisa digunakan oleh guru sebagai media pembelajaran adalah Microsoft  Office Excel. Khususnya penggunaan Microsoft  Office Excel sebagai media pembelajaran dalam bidang matematika. Ada banyak fungsi yang disediakan Microsoft  Office Excel yang dapat dimanfaatkan sebagai media pembelajaran matematika diantaranya adalah:

Fungsi matematika seperti logaritma dan akar

Fungsi Statistik seperti penjumlahan, rata-rata dan permutasi

Fungsi Trigonometri seperti sin dan tangen

Fungsi Matriks seperti determinan matriks, invers matriks, hasil perkalian matriks

Fungsi Logika seperti komparasi Boolean, dan

Fungsi keuangan seperti periode pembayaran dan suku bunga

2.        Penggunaan Fungsi Matriks Sebagai Media Pembelajaran

Disini akan dijelaskan lebih jauh mengenai penggunaan fungsi matriks sebagai media pembelajaran. Fungsi matriks dapat digunakan untuk menghitung berbagai operasi matriks di Microsoft Office Excel. Adapun beberapa operasi matriks yang dapat dilakukan pada Microsoft  Office Excel adalah:

a.        Operasi Penjumlahan Matriks

Langkah pertama, tampilkan matriks A dan B dalam suatu spreadsheet. Masukkan elemen-elemen dari setiap matriks dalam suatu blok sel. Langkah kedua, blok range untuk hasil penjumlahan dan sesuaikan ordenya dengan matriks yang akan dijumlah. Seperti contoh berikut:

Lalu ketik formula: =B4:D6+F4:H6. Karena matriks A terletak di range B4:D6 dan matriks B terletak di range F4:H6. atau dapat juga dilakukan dengan menyorot sel matriks A dan B. kemudian tekan F2 dan tekan ctrl+shift+enter. Hasilnya akan tampak seperti gambar dibawah ini:

b.      Operasi Pengurangan matriks

Misalkan untuk contoh pengurangan matriks sama seperti contoh matriks A dan B diatas. Langkah yang dilakukan pun sama hanya mengubah tanda “+” menjadi “-“ pada formulanya menjadi =B4:D6-F4:H6. Hasilnya seperti berikut:

 

c.         Operasi Perkalian skalar matriks

 

Langkah pertama dan kedua, sama seperti diatas. Untuk formulanya ketik :

=2*B4:D6-3*F4:H6 lalu tekan F2 dan ctrl+shift+enter. Hasilnya sepertiberikut:

d.        Operasi Perkalian matriks

Untuk perkalian matriks pada Microsoft Office Excel, dapat dilakukan dengan menggunakan fungsi MMULT. Misalkkan diberi contoh untuk menentukan nilai matriks R×S jika:                                    :

R = S =

Langkah pertama dan kedua sama seperti menghitung matriks sebelumnya. Tapi perlu diingat banyak kolom matris M harus sama dengan banyak baris matriks N dan untuk menempatkan hasil  perkalian, harus memperhatikan orde matriksnya. Untuk perkalian (m×n)(m×n) maka hasilnya berorde (m×n).

Untuk formulanya ketik:=MMULT(B3:C5;E3:F4) lalu tekan F2 dan ctrl+shift+enter. Maka hasilnya didapat seperti berikut:

e.         Operasi Determinan matriks            

Untuk mencari determinan dengan Microsoft Office Excel, dilakukan dengan menggunakan fungsi MDETERM. Sebagai contoh untuk menentukan nilai determinan matriks

Q = Langkah pertama dan kedua sama seperti diatas.

 Untuk formulanya ketik: =MDETERM(C4:G8) dan tekan enter. Maka hasilnya akan didapat seperti berikut:

 

f.         Operasi Invers matriks

Mencari nilai invers dari suatu matriks persegi dengan Microsoft Office Excel dapat dilakukan dengan menggunakan fungsi MINVERS. 

 

Langkah pertama dan kedua sama seperti diatas dan untuk formulanya ketik:

=MINVERSE(B4:D6) lalu tekan F2 dan tekan ctrl+shift+enter. Maka hasilnya akan terlihat seperti berikut:

 

3.        Media pembelajaran matriks menggunakan Microsoft Office Excel

Untuk menggunakan Microsoft Office Excel sebagai media pembelajaran, harus diketahui beberapa fungsi lain yang perlu digunakan sesuai dengan keperluan dalam pembuatan media pembelajaran tersebut. Misalkan untuk contoh media pembelajaran untuk kategori operasi penjumlahan matriks seperti contoh diatas, akan dibuat sebuah media pembelajaran yang sederhana.

 

Sesuai contoh tersebut, buat satu kolom lain yang sama seperti kolom untuk hasil penjumlahan matriks, yang digunakan untuk tempat menaruh jawaban bagi siswa. Untuk mengetahui jawaban yang ditulis oleh siswa benar atau tidak maka perlu dibuatkan satu kolom lain dan gunakan fungsi logika AND, fungsi ini akan memberikan suatu nilai benar (true) jika semua kondisi terpenuhi. Untuk formulanya ketikkan:

= AND(F9:H11=B9:D11). Lalu tekan F2 dan ctrl+shift+enter. Seperti terlihat pada gambar berikut:

 

Setelah selesai atur kembali tata letak tulisan agar terlihat menarik bagi siswa dan jangan lupa menutup kolom jawaban matriks yang telah dibuat. Seperti gambar berikut:

 

Operasi matriks pengurangan, perkalian, determinan dan invers pun dapat dibuat seperti contoh diatas.

Flowchart Mencari Luas Lingkaran

Flowchart Mencari Luas Lingkaran

Gambar dibawah ini merupakan flowchart atau diagram alir untuk mencari luas lingkaran

Demikianlah yang dapat saya sampaikan, untuk melihat lebih banyak lagi temtang pemrograman silahkan kunjungi artikel saya yang lainnya  terimakasih :))

Flowchart Mencari Volume Persegi Panjang

Flowchart Mencari Volume Persegi Panjang

Gambar dibawah ini merupakan flowchart atau diagram alir untuk mencari volume persegi panjang

Demikianlah yang dapat saya sampaikan, untuk melihat lebih banyak lagi temtang pemrograman silahkan kunjungi artikel saya yang lainnya  terimakasih :))

Kalimat Deskriptif dan Pseudo-code Mencari luas lingkaran

Kalimat Deskriptif  dan Pseudo-code Mencari luas lingkaran

Kalimat Deskriptif

            Mulai                

            Masukkan nilai r

            Hitung nilai Luas =3.14*r^2

            Tampilkan nilai Luas

            Selesai

Pseudo-code

            Start

            Variabel

                        r           : integer

                        Luas    : real

            Input

                        Read  (r)

            Proses

                        Luas = 3.14*r^2

            Output

                        Write  (Luas)

            End.

Demikianlah yang dapat saya sampaikan, untuk melihat lebih banyak lagi temtang pemrograman silahkan kunjungi artikel saya yang lainnya  terimakasih :))

Program Pascal Mencari Luas JajarGenjang

Program Pascal Mencari Luas JajarGenjang

Assalamualaikum wr.wb

selamat pagi,siang,sore,malam semuanya :D Kali ini saya akan memberikan contoh Flowchart "mencari luas jajargenjang" yang mungkin bisa menambah pengetahuan teman" sekalian, berikut gambar nya :

1. Programnya

program LuasJajarGenjang;
uses crt;
Var
   a :Integer;
   t :Integer;
   Luas :Integer;
Begin
     clrscr;
     Writeln('program mencari luas jajar genjang');
     Write('Input nilai a =');readln (a);
     Write('Input nilai t =');readln (t);
     Luas :=a*t;
     Writeln('Nilai Luas =',Luas);
     readln;
end.

2. Tampilan Program dalam Pascal

3. Hasil Program

Demikianlah yang dapat saya sampaikan, untuk melihat lebih banyak lagi temtang pemrograman silahkan kunjungi artikel saya yang lainnya  terimakasih :))